Kümmert sich das Nachlassgericht um die Auszahlung des Pflichtteils ?

Nein. Das Nachlassgericht befasst sich nicht mit Pflichtteilsansprüchen.

Das Nachlassgericht ermittelt und bewertet nicht den pflichtteilsrelevanten Nachlassbestand.
Es berechnet auch nicht die Höhe der Pflichtteilsforderungen.
Das Nachlassgericht erteilt keine rechtliche Beratung darüber, wie Pflichtteilsansprüche gegenüber den Erben durchzusetzen sind.